Ponente: Moira Chas

Resumen: La clase de homotopía libre de una curva C cerrada en una superficie S consiste
en todas las curvas cerradas que se pueden deformar continuamente en C sin
“salir” de la superficie S.

El número de auto-intersecciones de una curva en S es el menor número de
veces en las que la curva se cruza a sí misma. El número de intersecciones de
una clase de homotopía libre es el menor número de auto-intersecciones de una
curva en C. En esta charla, describiremos una manera natural de asociar a cada
clase de homotopía libre C en S una palabra w(C) en un cierto alfabeto (el
alfabeto depende de la superficie S). Por lo tanto, podemos asociar a cada clase
de homotopía libre C, un segundo número: la cantidad de letras de la palabra
w(C).

Finalmente, si la superficie S tiene característica de Euler negativa, es posible
definir una métrica de curvatura Gaussiana igual a -1 en todos los puntos de S.
Esta métrica tiene la propiedad de que en cada clase de homotopía libre hay
una única curva - geodésica - que es máscorta que todas las otras de las clases.
Por lo tanto, tenemos un tercer número asociado con la clase de homotopía
libre: la longitud geométrica que es la longitud de la curva más corta en la clase.
En esta charla, explicaremos como estos tres números se pueden determinar
explícitamente o aproximar por medio de algoritmos no triviales y el uso de
un computador. Estos cálculos exhiben varios patrones en las relaciones entre
estos tres números y han conducido a obtener contra-ejemplos de conjeturas
existentes, a descubrir nuevas conjeturas y subsecuentes teoremas.

Estos 2 cálculos también ilustran parte del trabajo de Maryam Mirzakhani donde
demostró ella que el número de geodésicas de auto-intersección cero y longitud
geométrica menor que L crece como un polinomio en L.